Question

3．若函數(shù)f（x）滿足：存在非零常數(shù)a，使f（x）=-f（2a-x），則稱f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，給出下列函數(shù)：①f（x）=x²；②f（x）=（x-1）³；③f（x）=e^x-1；④f（x）=cosx．則以上函數(shù)中是“準(zhǔn)奇函數(shù)”的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)準(zhǔn)奇函數(shù)的定義，先求-f（2a-x），并判斷它能否等于f（x），并根據(jù)-f（2a-x）=f（x）求出a，若a≠0便得到該函數(shù)是準(zhǔn)奇函數(shù)，若a=0便不是．按照這個(gè)方法即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)是否為準(zhǔn)奇函數(shù)．

解答 解：A．-f（2a-x）=-（2a-x）²≤0，f（x）=x²≥0，∴f（x）=x²不是準(zhǔn)奇函數(shù)；
B．由-f（2a-x）=-（2a-x-1）³=（x-2a+1）³=（x-1）³得，-2a+1=-1，
∴a=1，即存在a=1，使f（x）=-f（2a-x）；
∴該函數(shù)為準(zhǔn)奇函數(shù)；
C．-f（2a-x）=-e^2a-x-1＜0，而f（x）=e^x-1＞0，∴該函數(shù)不是準(zhǔn)奇函數(shù)；
D．存在非零常數(shù)$\frac{π}{2}$，使-f（2×$\frac{π}{2}$-x）=-cos（2×$\frac{π}{2}$-x）=cosx=f（x），
∴該函數(shù)是準(zhǔn)奇函數(shù)．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)新概念-準(zhǔn)奇函數(shù)的理解程度，以及根據(jù)準(zhǔn)奇函數(shù)的定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為準(zhǔn)奇函數(shù)的過程．