Question

20．△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{a，b+\frac{1}{2}c}）$；$\overrightarrow n=（{cosC，-1}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$
（I）求角A的大小
（II）若a=1，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=acosC-（b+$\frac{1}{2}$c）=0，由余弦定理可得a²+b²-c²=2b²+bc，即b²+c²-a²=-bc，再利用余弦定理可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，有A的范圍即可得答案；
（2）由（1）可得A的范圍，可得B=60°-C，且0°＜C＜60°，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，則有b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC），利用正弦的和差公式可得b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（60°+C），有C的范圍分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，向量$\overrightarrow m=（{a，b+\frac{1}{2}c}）$；$\overrightarrow n=（{cosC，-1}）$，
若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，則有$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=acosC-（b+$\frac{1}{2}$c）=0，
變形可得：a²+b²-c²=2b²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
則cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
則A=120°；
（2）由（1）可得，A=120°，則B+C=60°，
則有B=60°-C，且0°＜C＜60°，
若a=1，則$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
則b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sin（60°-C）+sinC]=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（60°+C），
又由0°＜C＜60°，則60°＜60°+C＜120°，
則$\frac{1}{3}$＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（60°+C）≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即b+c的取值范圍為（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題考查三角形中的幾何計算，涉及正弦定理的應用，關鍵是求出A的值．