Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記${M_n}={a_{b_1}}+{a_{b_2}}+…+{a_{b_n}}$，則{M_n}中小于2015的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 推導(dǎo)出M_n=${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{{2}^{n-1}}$=（1+2+4+…+2^n-1）+n，再由由M_n=（1+2+4+…+2^n-1）+n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n=2ⁿ+n-1＜2015，能求出{M_n}中小于2015的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∵{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2^n-1，
∵${M_n}={a_{b_1}}+{a_{b_2}}+…+{a_{b_n}}$，
∴M_n=${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{{2}^{n-1}}$=（1+2+4+…+2^n-1）+n，
由M_n=${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{4}+…+{a}_{{2}^{n-1}}$=（1+2+4+…+2^n-1）+n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+n=2ⁿ+n-1＜2015，
解得n＜10，
∴{M_n}中小于2015的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為9．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列中小于2015的項(xiàng)的個(gè)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．