Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）不等式（m²-2m-2）x²-mx+2x＜f（x）的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次不等式的解法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意設(shè)出二次函數(shù)f（x）表達(dá)式，解出即可；
（2）討論m²-2m-3=0與m²-2m-3≠0，分別求m，從而求其取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
則由題意得，ax²+bx+c+2ax+a+b-（ax²+bx+c）=2x，c=1，
解得：f（x）=x²-x-1，
（2）原不等式可化為（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對(duì)任意x恒成立．
（i）當(dāng)m²-2m-3=0時(shí)，得m=3或m=-1，
①若m=3，原不等式可化為-1＜0，滿足題意；
②若m=-1，原不等式可化為4x-1＜0，所以原不等式的解集為{x|x＜

1

4

}，不滿足題意，
所以m=3．
（ii）當(dāng)m²-2m-3≠0時(shí)，要使不等式的解集為R，則

m2-2m-3＜0 △=(m-3)2+4(m2-2m-3)＜0

解得，-

1

5

＜m＜3，
綜上所述，m的取值范圍是：（-

1

5

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的表達(dá)式的求法及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．