Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a|x-1|，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，+∞）內(nèi)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)舉反例說(shuō)明當(dāng)a=1時(shí)，f（x）非奇非偶．
（2）利用絕對(duì)值的意義分段討論去掉絕對(duì)值符號(hào)將f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；分別通過(guò)導(dǎo)數(shù)求兩段的最小值；比較兩段的最小值，挑出最小值為f（x）d的最小值．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3|x-1|，（2分）
此時(shí)f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．（5分）
（2）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x³-3a（1-x）=x³+3ax-3a，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x³-3a（x-1）=x³-3ax+3a
∴，（7分）
（i）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f'（x）=3x²+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)[f（x）]_min=f（0）=-3a（9分）
（ii）當(dāng)x≥1時(shí)，，
令f'（x）=0，可得兩極值點(diǎn)或，
①若0＜a≤1，則，可得f（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
結(jié)合（i）、（ii）可得此時(shí)[f（x）]_min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，則，可得f（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，+∞）內(nèi)有極小值，
此時(shí)
而
可得1＜a≤9時(shí)，，a＞9時(shí)，（14分）
∴綜合①②可得，當(dāng)0＜a≤9時(shí)，[f（x）]_min=f（0）=-3a，
當(dāng)a＞9時(shí)，（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查通過(guò)舉反例說(shuō)明一個(gè)命題不成立的方法、考查通過(guò)絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值符號(hào)、考查分段函數(shù)的最值分段求，比較出各段的最值、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．