Question

下列命題中，其中不正確的個(gè)數(shù)是
①若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線相互平行
②若兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行
③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，則l⊥γ
④一個(gè)平面α內(nèi)兩條不平行的直線都平行于另一平面β，則α∥β
⑤過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，則點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心
⑥垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：通過(guò)舉反例可判斷①②錯(cuò)誤；利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理可證明③正確；利用面面平行的判定定理可判斷④正確；利用直線在平面內(nèi)的射影性質(zhì)，可判斷⑤錯(cuò)誤；利用空間向量理論可證明⑥正確
解答：①如正方體從一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)的三條棱，兩兩互相垂直，故①②錯(cuò)；
③設(shè)α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ內(nèi)作直線c⊥a，d⊥b，c∩d=O
∵平面α⊥平面γ，∴c⊥α，∵l?α，∴c⊥l，同理可證d⊥l
即l垂直于平面γ內(nèi)的兩條相交直線，∴l(xiāng)⊥γ，③正確；
④依據(jù)面面平行的判定定理，一個(gè)平面α內(nèi)兩條相交的直線都平行于另一平面β，則α∥β，可判斷④正確；
⑤∵PA=PB=PC，∴它們?cè)谄矫鍭BC內(nèi)的射影OA=OB=OC，從而點(diǎn)O為三角形ABC的外心，⑤錯(cuò)；
⑥垂直于同一條直線的兩個(gè)平面，即兩平面的法向量共線，故兩平面平行，⑥正確；
故正確命題有③④⑥三個(gè)
故選 C
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間線線的位置關(guān)系，空間面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，斜線的射影性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，具有較強(qiáng)的空間想象能力和推理論證能力是解決本題的關(guān)鍵