如圖,已知橢圓過點.,離心率為,左、右焦點分別為F1、F2.點p為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D,O為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設直線PF1、PF2的斜線分別為k1、k2.①證明:;②問直線l上是否存在點P,使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有滿足條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)利用橢圓過已知點和離心率,聯(lián)立方程求得a和b,則橢圓的方程可得.
(2)①把直線PF1、PF2的方程聯(lián)立求得交點的坐標的表達式,代入直線x+y=2上,整理求得,原式得證.
②設出A,B,C,D的坐標,聯(lián)立直線PF1和橢圓的方程根據(jù)韋達定理表示出xA+xB和xAxB,進而可求得直線OA,OB斜率的和與CO,OD斜率的和,由kOA+k)B+kOC+kOD=0推斷出k1+k2=0或k1k2=1,分別討論求得p.
解答:解:(1)∵橢圓過點,
,
故所求橢圓方程為
(2)①由于F1(-1,0)、F2(1,0),PF1,PF2的斜率分別是k1,k2,且點P不在x軸上,
所以k1≠k2,k1≠0,k2≠0.
又直線PF1、PF2的方程分別為y=k1(x+1),y=k2(x-1),
聯(lián)立方程解得
所以,由于點P在直線x+y=2上,
所以

②設A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),聯(lián)立直線PF1和橢圓的方程得,
化簡得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0,
因此,
所以,
同理可得:,
故由kOA+k)B+kOC+kOD=0得k1+k2=0或k1k2=1,
當k1+k2=0時,由(1)的結論可得k2=-2,解得P點的坐標為(0,2)
當k1k2=1時,由(1)的結論可得k2=3或k2=-1(舍去),
此時直線CD的方程為y=3(x-1)與x+y=2聯(lián)立得x=\frac{5}{4},,
所以,
綜上所述,滿足條件的點P的坐標分別為,P(0,2).
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì).考查了學生綜合推理能力,基本計算能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分12分)

如圖,已知橢圓過點,兩個焦點分別為為坐標原點,平行于的直線交橢圓于不同的兩點,

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)試問直線的斜率之和是否為定值,若為定值,求出以線段為直徑且過點的圓的方程;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2014屆四川省高二5月月考考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,已知橢圓過點,離心率為,左、右焦點分別為、.點為直線上且不在軸上的任意一點,直線與橢圓的交點分別為、、為坐標原點.設直線、的斜率分別為、

(i)證明:;

(ii)問直線上是否存在點,使得直線、、的斜率、滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013屆安徽省毫州市高二上學期質(zhì)量檢測理科數(shù)學 題型:解答題

如圖,已知橢圓過點.,離心率為,左、右焦點分別為.點為直線上且不在軸上的任意一點,直線與橢圓的交點分別為、、為坐標原點.

(I)求橢圓的標準方程;

(II)設直線、的斜線分別為、.      證明:

 

 

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)文科數(shù)學全解全析 題型:解答題

(本小題滿分14分)

如圖,已知橢圓過點(1,),離心率為 ,左右焦點分別為.點為直線上且不在軸上的任意一點,直線與橢圓的交點分別為為坐標原點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)設直線、斜率分別為.

(。┳C明:

(ⅱ )問直線上是否存在一點,使直線的斜率滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2010年高考試題(山東卷)解析版(文) 題型:解答題

 如圖,已知橢圓過點(1,),離心率為 ,左右焦點分別為.點為直線上且不在軸上的任意一點,直線與橢圓的交點分別為為坐標原點.

    (Ⅰ) 求橢圓的標準方程;

   (Ⅱ)設直線斜率分別為

證明:

(ⅱ)問直線上是否存在一點

使直線的斜率

滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案