Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-cos²x-，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，f（C）=0，若向量=（sinB，2）與向量=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x-）-1，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）根據(jù)（I）的解析式，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍解f（C）=0得C=，由向量⊥解出sinB=2sinA，即b=2a，最后由由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入前面的數(shù)據(jù)即可解出a、b的值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1
=sin2xcos-cos2xsin-1=sin（2x-）-1，…（4分）
令2kπ+≤2x-≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因為f（C）=sin（2C-）-1=0，所以sin（2C-）=1
又∵-＜2C-＜，∴2C-=，解之得C=…（8分）
∵向量=（sinB，2）與向量=（1，-sinA）垂直，
∴sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA…（9分）
根據(jù)正弦定理得b=2a，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得12=a²+4a²-4a²cos=3a²…（11分）
解之得a=2，所以b=2a=4．…（12分）
點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并依此求三角形ABC的邊長．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和正余弦定理等知識，屬于中檔題．