Question

設(shè)函數(shù)f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，（其中e=2.1828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求p與q的關(guān)系；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（3）設(shè)，若在[1，e]上存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞g（x）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意f（x）=px--2lnx，且f（e）=pe--2，將其移項(xiàng)通分就可以看出來(lái)了；
（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），因?yàn)閒（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)恒大于或小于0，從而求出p的取值范圍；
（3）先假設(shè)存在，因?yàn)樵O(shè)，若在[1，e]上存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞g（x），在區(qū)間[1，e]上分別求出f（x）和g（x）的最大值和最小值，然后討論求解．
解答：解：（1）∵f（e）=pe--2，
∴（p-q）e=，∴p-q=0，
∴p=q；
（2）f′（x）=p+-≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
；
（3）∵在[1，e]上是減函數(shù)
∴x=e時(shí)，g（x）_min=2；
x=1時(shí)，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①p≤0時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]遞減⇒f_max（x）=f（1）=0＜2，不合題意

∴
③p≥1時(shí)，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，故只需f（x）_max＞g（x）_min=2，

．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，一般出題者喜歡考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問(wèn)題的能力，要出學(xué)生會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、有限與無(wú)限的思想來(lái)解決問(wèn)題．