Question

設(shè)f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

．
（1）求f（x）的表達(dá)式，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）對(duì)于f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）換元法解表達(dá)式，定義判斷奇偶性；
（2）借助基本初等函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由單調(diào)性解不等式．

解答： 解：（1）令t=logax(t∈R)，得x=at，
代入f（log_ax）中，得f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，
∴f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，

a

a2-1

＞0，ax在x∈R上遞增；-a-x在x∈R上也是遞增，故此時(shí)f(x)為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

a

a2-1

＜0，ax在x∈R上遞減；-a-x在x∈R上也是遞減，故此時(shí)f(x)為增函數(shù)．
綜上所述，f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）由（1）知f（x）為奇函數(shù)，
由（2）知f（x）在x∈（-1，1）為增函數(shù)，
故有-1＜1-m＜m2-1＜1，解得1＜m＜

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的基本特征，同時(shí)考查了利用函數(shù)單調(diào)性求不等式的解集．