在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4，
π2
)，點(diǎn)Q為線段PM的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)Q的軌跡C1的方程；
（2）試判定軌跡C1和⊙C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
分析：（1）先確定⊙C的直角坐標(biāo)方程，再利用點(diǎn)Q為線段PM的中點(diǎn)，求得坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用代入法，即可求得點(diǎn)Q的軌跡C1的方程；
（2）確定圓心坐標(biāo)，利用兩圓圓心距為等于兩圓半徑和，可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，∴⊙C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0，即x2+（y-1）2=1；
∵點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，∴直角坐標(biāo)為（0，4）
設(shè)P（x0，y0），Q（x，y），則x02+（y0-1）2=1①
∵點(diǎn)Q為線段PM的中點(diǎn)，∴
x0=2x
y0=2y-4

代入①，可得點(diǎn)Q的軌跡C1的方程x2+（y-
5
2
）2=
1
4
；
（2）x2+（y-1）2=1的圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為1；x2+（y-
5
2
）2=
1
4
的圓心坐標(biāo)為（0，
5
2
），半徑為
1
2

∴兩圓圓心距為
3
2
，等于兩圓半徑和，所以兩圓外切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查代入法求軌跡方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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