Question

5．某市在對學生的綜合素質(zhì)評價中，將其測評結果分為“優(yōu)秀、合格、不合格”三個等級，其中不小于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”，其它為“合格”．
（Ⅰ）某校高二年級有男生500人，女生400人，為了解性別對該綜合素質(zhì)評價結果的影響，采用分層抽樣的方法從高二學生中抽取了90名學生的綜合素質(zhì)評價結果，其各個等級的頻數(shù)統(tǒng)計如表：

等級	優(yōu)秀	合格	不合格
男生（人）	30	x	8
女生（人）	30	6	y

根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結果為優(yōu)秀與性別有關”？

	男生	女生	總計
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計

（Ⅱ）以（Ⅰ）中抽取的90名學生的綜合素質(zhì)評價等級的頻率作為全市各個評價等級發(fā)生的概率，且每名學生是否“優(yōu)秀”相互獨立，現(xiàn)從該市高二學生中隨機抽取4人．
（i）求所選4人中恰有3人綜合素質(zhì)評價為“優(yōu)秀”的概率；
（ii）記X表示這4人中綜合素質(zhì)評價等級為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求X的數(shù)學期望．
附：參考數(shù)據(jù)與公式
（1）臨界值表：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）參考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出從高一年級男生中抽出人數(shù)及x，y，作出2×2列聯(lián)表，求出K²=1.125＜2.706，從而得到?jīng)]有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結果為優(yōu)秀與性別有關”．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知等級為“優(yōu)秀”的學生的頻率為 $\frac{2}{3}$，從該市高二學生中隨機抽取一名學生，該生為“優(yōu)秀”的概率為$\frac{2}{3}$．由此能求出所選4名學生中恰有3人綜合素質(zhì)評價為‘優(yōu)秀’學生的概率．
（ii）X表示這4個人中綜合速度評價等級為“優(yōu)秀”的個數(shù)，由題意，隨機變量X～B（4，$\frac{2}{3}$），由此能求出X的數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）設從高二年級男生中抽出m人，則$\frac{m}{500}=\frac{90}{500+400}$，
解得m=50．
∴x=50-38=12，y=40-36=4．
∴2×2列聯(lián)表為：

	男生	女生	總計
優(yōu)秀	30	30	60
非優(yōu)秀	20	10	30
總計	50	40	90

∴K²=$\frac{90×（30×10-20×30）^{2}}{50×40×60×30}$=2.25＜2.706，
∴沒有90%的把握認為“綜合素質(zhì)評價測評結果為優(yōu)秀與性別有關”．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知等級為“優(yōu)秀”的學生的頻率為$\frac{2}{3}$，
∴從該市高二學生中隨機抽取一名學生，該生為“優(yōu)秀”的概率為 $\frac{2}{3}$．
記“所選4名學生中恰有3人綜合素質(zhì)評價為‘優(yōu)秀’學生”為事件A，
則事件A發(fā)生的概率為：P（A）=${C}_{4}^{3}×（\frac{2}{3}）^{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{32}{81}$．
（ii）X表示這4個人中綜合速度評價等級為“優(yōu)秀”的個數(shù)，
由題意，隨機變量X～B（4，$\frac{2}{3}$），
∴X的數(shù)學期望E（X）=4×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查抽樣方法、獨立性檢驗、獨立重復試驗的概率，考查二項分布及其期望，考查學生讀取統(tǒng)計表，利用統(tǒng)計量進行決策的能力和意識，是中檔題．