Question

（2012•黑龍江）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=

1

2

ex上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為（　�。�

• A．1-ln2
• B．

  2

  (1-ln2)
• C．1+ln2
• D．

  2

  (1+ln2)

Answer 1

分析：由于函數(shù)y=

1

2

ex與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，要求|PQ|的最小值，只要求出函數(shù)y=

1

2

ex上的點(diǎn)P(x，

1

2

ex)到直線y=x的距離為d=

| 1 2 ex-x|

2

的最小值，
設(shè)g（x）=

1

2

ex-x，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求g（x）的最小值，即可求

解答：解：∵函數(shù)y=

1

2

ex與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱
函數(shù)y=

1

2

ex上的點(diǎn)P(x，

1

2

ex)到直線y=x的距離為d=

| 1 2 ex-x|

2

設(shè)g（x）=

1

2

ex-x，（x＞0）則g′(x)=

1

2

ex-1
由g′(x)=

1

2

ex-1≥0可得x≥ln2，
由g′(x)=

1

2

ex-1＜0可得0＜x＜ln2
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）單調(diào)遞減，在[ln2，+∞）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)g（x）_min=1-ln2
dmin=

1-ln2

2

由圖象關(guān)于y=x對(duì)稱得：|PQ|最小值為2dmin=

2

(1-ln2)
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，注意本題解法中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，根據(jù)互為反函數(shù)的對(duì)稱性把所求的點(diǎn)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，構(gòu)造很好