已知雙曲線
=1(
a>0,
b>0)的右焦點為
F(
c,0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為
y=
x且
c=2,求雙曲線的方程;
(2)以原點
O為圓心,
c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為
A,過
A作圓的切線,斜率為-
,求雙曲線的離心率.
(1)
=1(2)
(1)∵雙曲線的漸近線為
y=±
x,∴
a=
b,
∴
c2=
a2+
b2=2
a2=4,∴
a2=
b2=2,∴雙曲線方程為
=1.
(2)設(shè)點
A的坐標(biāo)為(
x0,
y0),
∴直線
AO的斜率滿足
·(-
)=-1,∴
x0=
y0.①
依題意,圓的方程為
x2+
y2=
c2,
將①代入圓的方程得3
+
=
c2,即
y0=
c,∴
x0=
c,
∴點
A的坐標(biāo)為
,代入雙曲線方程得
=1,即
b2c2-
a2c2=
a2b2,②
又∵
a2+
b2=
c2,∴將
b2=
c2-
a2代入②式,整理得
c4-2
a2c2+
a4=0,
∴3
4-8
2+4=0,
∴(3
e2-2)(
e2-2)=0,∵
e>1,∴
e=
,
∴雙曲線的離心率為
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知0<θ<
,則雙曲線C
1:
-
=1與C
2:
-
=1的( )
A.實軸長相等 | B.虛軸長相等 |
C.離心率相等 | D.焦距相等 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若雙曲線
=1漸近線上的一個動點
P總在平面區(qū)域(
x-
m)
2+
y2≥16內(nèi),則實數(shù)
m的取值范圍是________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線mx
2-ny
2=1(m>0,n>0)的離心率為2,則橢圓mx
2+ny
2=1的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
己知拋物線
的焦點F恰好是雙曲線
的右焦點,且兩條曲線的交點的連線過點F,則該雙曲線的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知
F1,
F2是雙曲線
-
y2=1的兩個焦點,點
P在此雙曲線上,
·
=0,如果點
P到
x軸的距離等于
,那么該雙曲線的離心率等于________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)F
1,F(xiàn)
2為雙曲線
-y
2=1的兩個焦點,已知點P在此雙曲線上,且
·
=0.若此雙曲線的離心率等于
,則點P到x軸的距離等于________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若雙曲線
=1(
a>0,
b>0)與直線
y=
x無交點,則離心率
e的取值范圍是( ).
A.(1,2) | B.(1,2] | C.(1,) | D.(1,] |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線x
2-
=1的離心率大于
的充分必要條件是( )
A.m> | B.m≥1 |
C.m>1 | D.m>2 |
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