Question

已知函數(shù)且
（Ⅰ）試用含的代數(shù)式表示；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
（Ⅲ）易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)

試題分析：解法一：（Ⅰ）依題意，得
由得
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故
令，則或
①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R
③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
綜上：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得
由，得
由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
所以函數(shù)在處取得極值。
故
所以直線的方程為
由得
令
易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)
解法二：
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得，由，得
由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，
故
所以直線的方程為
由得
解得

所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn)。
點(diǎn)評(píng)：本題是在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程的知識(shí)融合在一起進(jìn)行考查，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識(shí)．導(dǎo)數(shù)題目是高考的必考題，且常考常新，但是無論如何少不了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，因此備考中要強(qiáng)化基礎(chǔ)題的訓(xùn)練．