（2013•福建）橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=
3
(x+c)與橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于
3
-1
3
-1
．
分析：由直線y=
3
(x+c)可知斜率為
3
，可得直線的傾斜角α=60°．又直線與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得∠MF2F1=30°，進而∠F1MF2=90°．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關(guān)系可得
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
，解出a，c即可．
解答：解：如圖所示，
由直線y=
3
(x+c)可知傾斜角α與斜率
3
有關(guān)系
3
=tanα，∴α=60°．
又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，則
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
，解得
c
a
=
3
-1．
∴該橢圓的離心率e=
3
-1．
故答案為
3
-1．
點評：本題綜合考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、勾股定理、含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義、離心率等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力和計算能力即數(shù)形結(jié)合的思想方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•福建）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，如果輸入某個正整數(shù)n后，輸出的S∈（10，20），那么n的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•福建）設(shè)S，T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y=f（x）滿足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）對任意x1，x2∈S，當(dāng)x1＜x2時，恒有f（x1）＜f（x2），那么稱這兩個集合“保序同構(gòu)”，以下集合對不是“保序同構(gòu)”的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•福建）當(dāng)x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：1+x+x2+…+xn+…=
1
1-x

兩邊同時積分得：
∫
1
2
0
1dx+
∫
1
2
0
xdx+
∫
1
2
0
x2dx+…
∫
1
2
0
xndx+…=
∫
1
2
0
1
1-x
dx
從而得到如下等式：1×
1
2
+
1
2
×(
1
2
)2+
1
3
×(
1
2
)3+…+
1
n+1
×(
1
2
)n+1+…=ln2．
請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，計算：
C
0
n
×
1
2
+
1
2
C
1
n
×(
1
2
)2+
1
3
C
2
n
×(
1
2
)3+…+
1
n+1
C
n
n
×(
1
2
)n+1=
1
n+1
[(
3
2
)n+1-1]
1
n+1
[(
3
2
)n+1-1]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•福建）已知函數(shù)f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（
π
4
，0），將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個
π
2
單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（
π
6
，
π
4
），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)，若不存在，說明理由；
（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個零點．

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