數(shù)列{
1
n(n+1)
}的前n項(xiàng)和Sn=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
n(n+1)
，研究一下，能否找到求Sn的一個(gè)公式．你能對(duì)這個(gè)問題作一些推廣嗎？
分析：利用裂項(xiàng)法求出
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，然后進(jìn)行求和即可．
解答：解：數(shù)列{
1
n(n+1)
}的通項(xiàng)公式為an=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∴Sn=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
．
類似地，我們可以求出通項(xiàng)公式為an=
1
n(n+k)
=
1
k
(
1
n
-
1
n+k
)的數(shù)列的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的知識(shí)，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵，要求掌握常見數(shù)列求和的幾種基本方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=6，且an-an-1=
an-1n
+n+1（n∈N*，n≥2），
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）n∈N*，求數(shù)列{
1
n2+n
}的前n項(xiàng)和Sn
（2）n∈N*，求證：數(shù)列{
1
n(n+1)(n+2)
}的前n項(xiàng)和Tn=
1
4
-
1
2(n+1)(n+2)

（3）n∈N*，求證：1+
1
23
+
1
33
+
1
43
+…+
1
n3
＜
29
24
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{
1
n(n+1)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

數(shù)列{
1
n(n+1)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則
lim
n→∞
Sn=______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案