已知函數(shù)g(x)=-x2-3,f(x)是二次函數(shù),f(x)+g(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,2]時(shí)f(x)的最小值為1,則f(x)表達(dá)式為
f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2
2
x+3
f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2
2
x+3
分析:設(shè)f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),可表示出f(x)+g(x),根據(jù)f(x)+g(x)為奇函數(shù)及奇函數(shù)的定義可得關(guān)于a,c的方程組,從而可求a,c,然后根據(jù)f(x)的對(duì)稱軸在區(qū)間[-1,2]的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論,求出f(x)的最小值,令其為1,可求得b值.
解答:解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c,(a≠0),
則f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3,
又f(x)+g(x)為奇函數(shù),
∴(a-1)x2-bx+c-3=-(a-1)x2-bx-c+3對(duì)任意x∈R恒成立,
a-1=-(a-1)
c-3=-c+3
,解得:
a=1
c=3
,
∴f(x)=x2+bx+3,其對(duì)稱軸為x=-
b
2
,
①當(dāng)-
b
2
<-1時(shí),即b>2時(shí),f(x)min=f(-1)=4-b=1,解得b=3; 
②當(dāng)-1≤-
b
2
≤2
時(shí),即-4≤b≤2時(shí),f(x)min=f(-
b
2
)
=
b2
4
-
b2
2
+3
=1,
解得:b=-2
2
或b=2
2
(舍);
③當(dāng)-
b
2
>2時(shí),即b<-4時(shí),f(x)min=f(2)=7+2b=1,解得b=-3(舍),
綜上知,f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2
2
x+3
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法,考查奇函數(shù)的性質(zhì),考查分類討論思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力,已知函數(shù)類型求函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對(duì)任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a),設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b為實(shí)數(shù).
(1)①求證:函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);
②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,設(shè)m為實(shí)數(shù),α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)(1,0)、(3,0)、(0,2).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=log2x的定義域?yàn)閧x|f(x)<2},求函數(shù)g(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x+2)=2x-3,則函數(shù)g(x)=
2x-7
2x-7

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=asinx+bcosx+c
(1)當(dāng)b=0時(shí),求g(x)的值域;
(2)當(dāng)a=1,c=0時(shí),函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=
3
對(duì)稱,求函數(shù)y=bsinx+acosx的對(duì)稱軸.
(3)若g(x)圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(
11π
6
,1)
,如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的
3
π
倍,然后向左平移1個(gè)單位可得y=f(x)的圖象,又知f(x)=3的所有正根從小到大依次為x1,x2,x3,…,xn,…,且xn-xn-1=3(n≥2),求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都模擬)若函數(shù)f(x)滿足:在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0,使f(x0+k)=f(x0)+f(k)(k為常數(shù)),則稱“f(x)關(guān)于k可線性分解”
(1)函數(shù)f(x)=2x+x2是否關(guān)于1可線性分解?請(qǐng)說明理由;
(2)已知函數(shù)g(x)=lnx-ax+1(a>0)關(guān)于a可線性分解,求a的范圍;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)a取最小整數(shù)時(shí),求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案