Question

【題目】設數(shù)列的首項，前項和滿足關系式.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求數(shù)列的通項公式；

（3）數(shù)列滿足條件（2），求和：.

Answer 1

【答案】（1）見解析.

（2）.

（3）.

【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的遞推式，整理得，進而可推斷出時，數(shù)列成等比數(shù)列，然后分別求得和，驗證亦符合，進而可推斷出是一個首項為1，公比為的等比數(shù)列；（2）把 的解析式代入，進而可知，判斷出是一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列．進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得答案；（3）由是等差數(shù)列．進而可推斷出和也是首項分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，進而用分組法可求得結(jié)果．

（1）因為 ①

②

，得，所以.

又由，得.又因為，所以.

所以是一個首項為1，公比為的等比數(shù)列.

（2）由，得

.

所以是一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列.于是.

（3）由，可知和是首項分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，于是，

所以

.