Question

已知二項式（1-2log₂x）ⁿ的展開式的所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為64．
（1）求n的值；
（2）求展開式的所有項的系數(shù)之和；
（3）求展開式的所有偶數(shù)項的系數(shù)之和．

Answer 1

考點：二項式定理,二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：（1）由題意得所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2^n-1=64，解得即可
（2）設(shè)（1-2log₂x）ⁿ=a0+a1log2x+a2log22x+…+a7log27x，利用賦值法，計算可得．
（3）利用賦值法，x=

1

2

，x=2，計算即可．

解答： 解：（1）∵二項式（1-2logx）ⁿ的展開式的所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2^n-1=64，
∴n=7．
（2）設(shè)（1-2log₂x）ⁿ=a0+a1log2x+a2log22x+…+a7log27x
令x=2，得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=（1-2log₂2）⁷=-1  ①
（3）令x=

1

2

，得：a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=（1-2log₂

1

2

）⁷=3⁷  ②
①-②，得
a₁+a₃+a₅+a₇=（1-3⁷）÷2=-1094
即展開式的所有偶數(shù)項的系數(shù)之和為-1094．

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．