Question

已知△AOB，點(diǎn)P在直線AB上，且滿足

OP

=t

OB

+2t

PA

，t∈R，則

| PA |

| PB |

=

 

．

Answer 1

分析：把

PA

=

OA

-

OP

代入所給的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由

AP

與

PB

共線，設(shè)

AP

=m

PB

根據(jù)定比分點(diǎn)公式求出t和m關(guān)系，由向量共線的等價(jià)條件列出由關(guān)

OP

、

OA

和

OB

的式子，根據(jù)向量相等求出t的值．

解答：解：∵

OP

=t

OB

+2t

PA

，t∈R，且

PA

=

OA

-

OP

，
∴（1+2t）

OP

=2t

OA

+t

OB

，即

OP

=

2t

1+2t

OA

+

t

1+2t

OB

，①
∵點(diǎn)P在直線AB上，∴設(shè)

AP

=m

PB

，即|

AP

|：|

PB

|=m，
根據(jù)定比分點(diǎn)公式得，t=

1

1+m

，∵

OP

=t

OA

+（1-t）

OB

，②，
由①②和向量相等得，

2t 1+2t =t t 1+2t =(1-t)

，解得t=

1

2

或

2

3

，
∵t=

1

1+m

，∴m=1或

1

2

，
∴

| PA |

| PB |

=1或

1

2

．
故答案為：1或

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線的等價(jià)條件和向量相等的應(yīng)用，利用向量的線性運(yùn)算列出方程，由向量共線構(gòu)造方程，再根據(jù)向量相等求出參數(shù)的值．