Question

【題目】已知函數(shù)，．

求證：對恒成立；

若，若，，求證：

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先對不等式左邊進行化簡整理，然后將整理后的表達式設(shè)為函數(shù)，對函數(shù)進行一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的分析，得到在上單調(diào)遞增，則當時，命題得證．

（2）先對整理后的進行一階導(dǎo)數(shù)的分析，畫出函數(shù)大致圖象，可知，然后采用先取對數(shù)然后作差的方法比較大小，關(guān)鍵是構(gòu)造對數(shù)平均數(shù)，利用對數(shù)平均不等式即可證明．

證明：由題意，可知

．

令，則

，，

當時，，

在上單調(diào)遞增．

當時，，

在上單調(diào)遞增．

當時，．

故命題得證．

由題意，，．

，．

令，解得；

令，解得；

令，解得．

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在處取得極小值．

大致圖象如下：

根據(jù)圖，可知，．

，，

根據(jù)對數(shù)平均不等式，有

，

．

，

．

故得證．