Question

數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，已知a1=

1

3

，且對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立則實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

分析：由a_m+n=a_m•a_n，分別令m和n等于1和1或2和1，由a₁求出數(shù)列的各項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)此數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為

1

3

的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n，而S_n＜a恒成立即n趨于正無(wú)窮時(shí)，求出S_n的極限小于等于a，求出極限列出關(guān)于a的不等式，即可得到a的最小值．

解答：解：令m=1，n=1，得到a₂=a₁²=

1

9

，同理令m=2，n=1，得到a₃=

1

27

，…
所以此數(shù)列是首項(xiàng)為

1

3

，公比也為

1

3

的等比數(shù)列，則S_n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

），
S_n＜a恒成立即n→+∞時(shí)，S_n的極限≤a，所以a≥

lim

n→+∞

1

2

（1-

1

3n

）=

1

2

，
則a的最小值為

1

2

．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列關(guān)系的確定，掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及會(huì)進(jìn)行極限的運(yùn)算，是一道綜合題．