Question

10．某押運(yùn)公司為保障押運(yùn)車輛運(yùn)行安全，每周星期一到星期五對(duì)規(guī)定尾號(hào)的押運(yùn)車輛進(jìn)行保養(yǎng)維護(hù)，具體保養(yǎng)安排如下：

日期	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五
保養(yǎng)車輛尾號(hào)	0和5	1和6	2和7	3和8	4和9

該公司下屬的某分公司有車牌尾號(hào)分別為0、5、6的汽車各一輛，分別記為A、B、C．已知在非保養(yǎng)日，根據(jù)工作需要每輛押運(yùn)車每天可能出車或不出車，A、B、C三輛車每天出車的概率依次為$\frac{2}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，且A、B、C三車是否出車相互獨(dú)立；在保養(yǎng)日，保養(yǎng)車輛不能出車．
（Ⅰ）求該分公司在星期四至少有一輛車外出執(zhí)行押運(yùn)任務(wù)的概率；
（Ⅱ）設(shè)X表示該分公司在星期一與星期二兩天的出車臺(tái)數(shù)之和，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用互斥事件與對(duì)立事件的概率公式，計(jì)算所求的概率值；
（Ⅱ）由題意知X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，
寫出隨機(jī)變量X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)該分公司A、B、C三輛押運(yùn)車在星期四出車的事件分別為A₄、B₄、C₄，
該分公司在星期四至少有一輛押運(yùn)車外出執(zhí)行任務(wù)的事件為D，
則$P（D）=1-P（\overline D）=1-P（\overline A\overline B\overline C）$=$1-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{17}{18}$；…（6分）
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，3；
$P（X=0）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{18}$，
$P（X=1）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{18}$，
$P（X=2）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，
$P（X=3）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$；…（10分）
所以隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

數(shù)學(xué)期望為$E（X）=0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{2}{9}=\frac{11}{6}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，也考查了互斥、對(duì)立事件的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．