Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD．
（Ⅰ）求直線PB與平面PDC所成的角的正切值；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）取DC的中點(diǎn)E，可證明BE⊥平面PDC，從而PE為PB在平面PDC上的射影，根據(jù)線面角定義，∠BPE為直線PB與平面PDC所成的角，在直角三角形PEB中計(jì)算角BPE即可
（2）連接AC、BD交于點(diǎn)O，可證明AO⊥平面PDB，因此使用三垂線法即可作出二面角的平面角，方法是作OF⊥PB于F，連接AF，故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角，在直角三角形AOF中求∠AFO的大小即可

解答：解：（Ⅰ）取DC的中點(diǎn)E．
∵ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，∴BE⊥CD．
∵PD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴PD⊥BE．
∴BE⊥平面PDC．∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角．
∵BE=

3

2

a，PE=

5

2

a，∴tan∠BPE=

BE

PE

=

15

5

．
（Ⅱ）連接AC、BD交于點(diǎn)O，因?yàn)锳BCD是菱形，所以AO⊥BD．
∵PD⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥PD．∴AO⊥平面PDB．
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB．
故∠AFO就是二面角A-PB-D的平面角．
∵AO=

3

2

a，OF=

2

4

a，∴tan∠AFO=

AO

OF

=

6

．
∴∠AFO=arctan

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線與平面，空間平面與平面所成的角的做法和計(jì)算方法，解題時(shí)要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法．