【題目】已知拋物線的方程為C：x2=4y，過點(diǎn)Q（0，2）的一條直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若拋物線在A，B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線PQ與直線AB的夾角為α，求α的取值范圍．

【答案】
（1）

解：由AB直線與拋物線交于兩點(diǎn)可知，直線AB不與x軸垂直，故可設(shè)lAB：y=kx+2，

則 ，整理得：x2﹣4ky﹣8=0…①，

△=16k2+32＞0，故k∈R時均滿足題目要求．

設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則x1，x2為方程①的兩根，

故由韋達(dá)定理可知，x1+x2=4k，x1x2=﹣8．

將拋物線方程轉(zhuǎn)化為 ，則 ，故A點(diǎn)處的切線方程為 ，

整理得 ，

同理可得，B點(diǎn)處的切線方程為 ，記兩條切線的交點(diǎn)P（xp，yp），

聯(lián)立兩條切線的方程，解得點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，

故點(diǎn)P的軌跡方程為y=﹣2，x∈R


（2）

解：當(dāng)k=0時，xP=0，yP=﹣2，此時直線PQ即為y軸，與直線AB的夾角為 ．

當(dāng)k≠0時，記直線PQ的斜率 ，

又由于直線AB的斜率為k，且已知直線AB與直線PQ所夾角α∈[0， ]，

tanα=丨 丨=丨 丨= +丨k丨≥2 ，

則a∈[arctan2 ， ）

綜上所述，α的取值范圍是∈[arctan2 ， ]


【解析】（1）將直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求得切線方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)P的軌跡方程；（2）分類討論，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得tanα取值范圍，即可求得α的取值范圍．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地要建造一個邊長為2（單位：km）的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區(qū)域ODC開挖成一個池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），曲線OD是函數(shù)y=ax2圖象的一部分，對邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象，與線段DB交于點(diǎn)N（點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合），且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點(diǎn)P，四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)：
（1）求證：b=﹣ ；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，①用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S（t），并求S的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l： （m為常數(shù)）．
（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=4時，求實(shí)數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使∠A1EB=120°，如圖2所示，點(diǎn)G、H分別在A1B、D1C上，A1G=D1H= ，過點(diǎn)G、H的平面α與幾何體A1EB﹣D1FC的面相交，交線圍成一個正方形．
（1）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；
（2）求點(diǎn)E到平面α的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，點(diǎn)P為直線x+2y﹣9=0上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，則 的取值范圍為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），滿足（x﹣2）[f′（x）﹣f（x）]＞0，且f（4﹣x）=e4﹣2xf（x），則下列關(guān)于 f（x）的命題正確的是（ ）
A.f（3）＞e2f（1）
B.f（3）＜ef（2）
C.f（4）＜e4f（0）
D.f（4）＜e5f（﹣1）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知過拋物線E：x2=4y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線E與A、C兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點(diǎn)D、B（B與C不重合），∠FAD=∠FDA，經(jīng)過點(diǎn)C作拋物線E的切線為l2 ．
（Ⅰ）求證：l1∥l2；
（Ⅱ）求三角形ABC面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出（ ）
A.數(shù)列{2n﹣1}的前 4項(xiàng)的和
B.數(shù)列{2n﹣1}的第4項(xiàng)
C.數(shù)列{2n}的前5項(xiàng)的和
D.數(shù)列{2n﹣1}的第5項(xiàng)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì)，截至2016年底全國微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億，為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學(xué)生中隨機(jī)抽取100位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

微信群數(shù)量（個）

頻數(shù)

頻率

0～4

0.15

5～8

40

0.4

9～12

25

13～16

a

c

16以上

5

b

合計(jì)

100

1

（Ⅰ）求a，b，c的值及樣本中微信群個數(shù)超過12的概率；
（Ⅱ）若從這100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過12的概率；
（Ⅲ）以（1）中的頻率作為概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過12的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案