Question

4．已知△ABC中，D是△ABC外接圓劣弧$\widehat{AC}$上的點（不與點A，C重合），延長BD至E，且AD的延長線平分∠CDE．
（1）求證：AB=AC；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為4+2$\sqrt{3}$，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）連接CD，設F為AD延長線上一點，由四點共圓得∠CDF=∠ABC，由平行線性質(zhì)得∠CDF=∠EDF，由此能證明AB=AC．
（2）設O為外接圓圓心，且半徑為r，連接AO并延長交BC于H，則AH⊥BC．連接OC．由題意推導出$OH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$，從而r=4，進而能求出外接圓面積．

解答 證明：（1）如圖，連接CD，設F為AD延長線上一點，
∵A，B，C，D四點共圓，∴∠CDF=∠ABC．
又AD的延長線平分∠CDE，∴∠CDF=∠EDF，
又∵∠EDF=∠ADB且∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC…（5分）
解：（2）設O為外接圓圓心，且半徑為r，
連接AO并延長交BC于H，則AH⊥BC．
連接OC．由題意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，
∴∠OCH=60°，∴$OH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}r$
則$r+\frac{{\sqrt{3}}}{2}r=4+2\sqrt{3}$，得r=4，
∴外接圓面積為16π．…（10分）

點評 本題考查線段相等的證明，考查外接圓面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的簡單性質(zhì)的合理運用．