Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{-4x+5}{x+1}$，$g（x）=asin（\frac{π}{3}x）+2a$（a＞0），若對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是  $（0，\frac{5}{3}]$．

Answer 1

分析 求出x₂∈[0，2]時(shí)f（x₂）的值域，x₁∈[0，2]時(shí)g（x₁）的值域；
根據(jù)題意得出關(guān)于a的不等式組，求出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\frac{-4x+5}{x+1}$=-4+$\frac{9}{x+1}$，
$g（x）=asin（\frac{π}{3}x）+2a$（a＞0），
x₂∈[0，2]，x₂+1∈[1，3]，
∴$\frac{9}{{x}_{2}+1}$∈[3，9]，
∴-4+$\frac{9}{{x}_{2}+1}$∈[-1，5]，
即f（x₂）∈[-1，5]；
又x₁∈[0，2]，$\frac{π}{3}$x₁∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
sin（$\frac{π}{3}$x₁）∈[0，1]，
∴g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x₁）+2a∈[a，3a]；
對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，
等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{3a≤5}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤$\frac{5}{3}$；
又a＞0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤$\frac{5}{3}$．
故答案為：（0，$\frac{5}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了求函數(shù)的值域以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．