Question

【題目】正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于的平面，記平面截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，設(shè)，.

（1）下列說(shuō)法中，正確的編號(hào)為______.

①截面多邊形可能為六邊形；②；③函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng).

（2）當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為______.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

（1）運(yùn)用正方體的對(duì)角線的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性，得到截面為正三角性或正六邊形，計(jì)算即可得到結(jié)論；

（2）確定外接圓的球心在OP上，運(yùn)用勾股定理求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.

（1）正方體的棱長(zhǎng)為2，可得對(duì)角線長(zhǎng)為，

對(duì)于①中，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)，可得平面，

當(dāng)截面經(jīng)過(guò)中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)得到的截面垂直與，且為正六邊形，所以截面多邊形可能為六邊形，所以是正確的；

對(duì)于②中，當(dāng)時(shí)，可得截面為等邊，如圖所示，

設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，可得，

在直角中，可得，即，

解得，所以截面的周長(zhǎng)，所以②不正確；

③根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以是正確的；

（2）由正方體的棱長(zhǎng)為2，可得對(duì)角線長(zhǎng)為，

當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)恰為對(duì)角線的中點(diǎn)，則P在底面上的射影為AC的中點(diǎn)，

由球的性質(zhì)，可得球心在上，

設(shè)球的半徑為，可得，即，解得，

所以三棱錐為外接球的表面積為.

故答案為：①③，.