Question

求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：
（1）中心在原點，焦點在 x軸上，短軸長為12，離心率為的橢圓；
（2）拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線的一個焦點，且與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的交點為，求拋物線與雙曲線的方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓中心在原點，焦點在x軸上，短軸長為12，
∴設橢圓方程為+=1，（a＞b＞0）
∵離心率為e=，b=6，
∴=，解之得a=10，
從而得到橢圓方程為；
（2）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵拋物線與雙曲線的交點為，
∴6=2p×，可得p=2，
可得拋物線方程為y²=4x，準線方程為x=-1
∵雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，∴c=1
又∵是雙曲線上的點
∴，
聯(lián)解①②，可得a²=，b²=，得到雙曲線的方程為
∴拋物線的方程為y²=4x，雙曲線的方程為．
分析：（1）根據(jù)題意，得到橢圓離心率為e==，結合b=6和a²=b²+c²解出a=10，從而得到該橢圓的方程；
（2）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），將點代入算出p=2，從而得到拋物線方程為y²=4x，所以拋物線的準線為x=-1，結合題意得到雙曲線的半焦距c=1，再由點在雙曲線上解出a²=，b²=，可得雙曲線的方程．
點評：本題給出橢圓和雙曲線滿足的兩個關系式，求它們的標準方程，著重考查了橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識點，屬于基礎題．