Question

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t(分鐘)的變化規(guī)律〔f(t)越大，表明學(xué)生注意力越集中〕，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知：

f(t)＝

(1)講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？

(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較，何時(shí)學(xué)生的注意力更集中？

(3)一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)0＜t≤10時(shí)， 　　f(t)＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244是增函數(shù)，且f(t)max＝f(10)＝240， 　　當(dāng)20＜t≤40時(shí)，f(t)＝－7t＋380是減函數(shù)，且f(20)＝240， 　　所以講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘． 　　(2)由題意得 　　f(5)＝－52＋24×5＋100＝195， 　　f(25)＝－7×25＋380＝205， 　　所以講課開始25分鐘時(shí)，學(xué)生的注意力比講課開始后5分鐘更集中． 　　(3)函數(shù)f(t)的圖像與y＝180交于兩點(diǎn)， 　　當(dāng)0＜t≤10時(shí)，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4， 　　當(dāng)20＜t≤40時(shí)，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57， 　　由(1)函數(shù)f(t)的單調(diào)性，知4＜t＜28.57， 　　則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間為28.57－4＝24.57＞24． 　　所以經(jīng)過適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．

提示：

(1)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(t)的最大值；(2)比較f(5)，f(25)的大小；(3)結(jié)合函數(shù)f(t)的圖像，求當(dāng)f(t)≥180時(shí)，時(shí)間t的取值范圍．