已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)設m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值;
(III)試證明:對?n∈N*,不等式恒成立.
【答案】分析:(Ⅰ)由函數(shù),得f′(x),令f′(x)=0,得此方程的解;從而求得函數(shù)f(x)的最大值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
故①當0<2m≤1,即時,f(x)在[m,2m]上單調(diào)遞增,最大值是f(2m);
②當m≥1時,f(x)在[m,2m]上單調(diào)遞減,最大值是f(m);
③當m<1<2m,即時,最大值是f(1).
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,x∈(0,+∞)時,f(x)max=f(1)=-1,即在(0,+∞)上,恒有,當且僅當x=1時“=”成立,即是恒有l(wèi)nx≤x(x-1);由于,∴,即證.
解答:解:(Ⅰ)∵函數(shù),∴,令f′(x)=0,得x2=1-lnx,顯然x=1是此方程的解;
令g(x)=x2+lnx-1,其中x∈(0,+∞),則;
∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又x=1是方程f′(x)=0的唯一解,
∴當x=1時,函數(shù)有最大值f(x)max=f(1)=-1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
故①當0<2m≤1,即時,f(x)在[m,2m]上單調(diào)遞增,;
②當m≥1時,f(x)在[m,2m]上單調(diào)遞減,;
③當m<1<2m,即時,f(x)max=f(1)=-1.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,x∈(0,+∞)時,f(x)max=f(1)=-1,
∴在(0,+∞)上恒有,當且僅當x=1時“=”成立,
∴對任意的x∈(0,+∞)恒有l(wèi)nx≤x(x-1);
,∴,
即對?n∈N*,不等式恒成立.
點評:本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性求得函數(shù)的最值問題,也考查了利用函數(shù)證明不等式恒成立的問題,屬于較難的題目.
練習冊系列答案
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1的最;

2當函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對應函數(shù)值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.,試問函數(shù)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.

 

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(Ⅰ)已知函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)已知,的部分函數(shù)值由下表給出,

 求證:

(Ⅲ)定義集合

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