Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面邊長為2，AA₁=4

2

，AC₁=2AF，AD⊥B₁D，AE=

1

2

B₁E．
（1）證明：DF∥平面ABB₁A₁；
（2）求三棱錐A-DEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明D為BC的中點，DF∥A₁B，即可證明DF∥平面ABB₁A₁；
（2）利用V_A-DEF=V_D-AEF=

1

6

V_D-AB1C1=V_A-DB1C1，求三棱錐A-DEF的體積．

解答： （1）證明：如圖：連接A₁B，A₁C
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，∴AD⊥B₁D，AD⊥BB₁
∴AD⊥平面BB₁C₁，
∵△ABC為正三角形，
∴D為BC的中點，
∵F為AC₁的中點，
∴DF∥A₁B，
∵DF?平面ABB₁A₁，A₁B?平面ABB₁A₁，
∴DF∥平面ABB₁A₁；
（2）解：V_A-DEF=V_D-AEF=

1

6

V_D-AB1C1=V_A-DB1C1=

1

3

•

1

6

•S△B1C1D•AD=

2 6

9

．

點評：證明線面平行關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行；求三棱錐的體積時若不易求出一般是先觀察一下是否換一個底面積與高都容易求的定點．