Question

11．在△ABC中，sin²A十sin²B十sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，則△ABC的形狀是（　�。�

• A． 直角三角形
• B． 銳角三角形
• C． 鈍角三角形
• D． 正三角形

Answer 1

分析 由于sin²A+sin²B+sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，利用正弦定理可得：a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$absinC，由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，利用sin²C+cos²C=$\frac{（{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}）^{2}}{12{a}^{2}^{2}}$+$\frac{（{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}）^{2}}{4{a}^{2}^{2}}$=1，化簡(jiǎn)即可得出．

解答 解：∵sin²A+sin²B+sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，
由正弦定理可得：a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$absinC，
由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，
∴sin²C+cos²C=$\frac{（{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}）^{2}}{12{a}^{2}^{2}}$+$\frac{（{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}）^{2}}{4{a}^{2}^{2}}$=1，
化為（a²-b²）²+（b²-c²）²+（a²-c²）²=0，
∴a=b=c．
∴△ABC是正三角形．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．