Question

曲線f（x）=

4x-8

在點A（6，4）處的切線為l．
（1）求切線l的方程；
（2）求切線l與x軸以及曲線f（x）所圍成的封閉圖形的面積S．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,定積分

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），再求出f'（6）的值得到曲線在點A處的切線斜率，利用直線的點斜式方程列式，化簡即得切線l的方程；
（2）算出曲線在x軸上的交點坐標，可得封閉圖形的面積為S=

1

2

×2×2+

∫

6 2

（

1

2

x+1-

4x-8

）dx，再利用積分計算公式加以計算即可得到答案．

解答： 解：（1）∵求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=

1

x-2

，
∴曲線f（x）=

4x-8

在點A（6，4）處的切線斜率為f'（6）=

1

2

，
因此，切線l的方程為y-4=

1

2

（x-6），化簡得x-2y+2=0；
（2）x-2y+2=0，令y=0，得x=-2，f（x）=

4x-8

=0得x=2，
∴封閉圖形的面積為S=

1

2

×2×2+

∫

6 2

（

1

2

x+1-

4x-8

）dx=2+[x2+x-

1

6

(4x-8)

3

2

]

|

6 2

=

94

3

．

點評：本題給出曲線f（x）=

4x-8

點A處的切線方程，并依此求封閉圖形的面積．著重考查了切線的方程求法、定積分的幾何意義和積分計算公式等知識，屬于中檔題．