Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n（不需證明）
（2）記b_n=

2

2-an

，當n＞4時，試比較b_n與n²的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）通過n=1，2，3，4，直接計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式；
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=s₁=2-a₁，所以a₁=1．
當n=2時，a₁+a₂=s₂=2×2-a₂，所以a₂=

3

2

．
同理：a₃=

7

4

，a₄=

15

8

．
由此猜想an=2-

1

2n-1

（2）bn=2n，當n＞4時，b_n＞n²．
①當n=5時，左邊=32，右邊=25，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時，結(jié)論成立，即2^k＞k²，當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2k²，
只證2k²＞（k+1）²（k≥5）即可，顯然成立，
由①②知當n＞4時，b_n＞n²．

點評：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關(guān)鍵．