Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）如果滿足以下三個條件：①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否為理想函數(shù)，并予以證明；
（2）求定義域為[0，1]的理想函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當x=（n∈N）時，有f（）≤+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你根據(jù)該同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論（或其它方法）來判斷此猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

解：（1）顯然g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）滿足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x1+x2-2^x1-2^x2-1=（2^x1-1）（2^x2-1）-2≥-2
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）-2成立，故為理想函數(shù)．（4分）
（2）設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則x₂-x₁∈（0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f （x₂-x₁）-2≥0，∴f（x₁）≤f（x₂）
則當0≤x≤1時，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2當x=1時，f（1）=3，
∴當x=0時，f（x）取得最小值2，
當x=1時，f（x）取得最大值3（10分）
（3）對x∈（0，1]，總存在n∈N，＜x≤，
由（2）及該同學(xué)的結(jié)論，得f（x）≤f（）≤+2，
又2x+2＞2•+2=+2，
∴f（x）＜2x+2
綜上所述，對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2（16分）
分析：（1）欲判斷g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是不是滿足理想函數(shù)，即看它是否滿足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；下面一一驗證即可；
（2）先研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而得出此函數(shù)的最值．得到當x=0時，f（x）取得最小值2，當x=1時，f（x）取得最大值3即可；（3）由于對x∈（0，1]，總存在n∈N，＜x≤，再加上由（2）及該同學(xué)的結(jié)論，得f（x）≤f（）≤+2，又2x+2＞2•+2=+2，最后利用放縮法即得．
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、抽象函數(shù)的應(yīng)用、放縮法等，考查運算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．