Question

11．a(chǎn)₁，a₂，…，a_n是兩兩互不相同正整數(shù)．求證：1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$≤a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)a₁，a₂，…，a_n是兩兩互不相同正整數(shù)以及根據(jù)排序不等式證明即可．

解答 解：a₁，a₂，…，a_n從小到大的排列記為：b₁，b₂，…，b_n，
則b₁≥1，b₂≥2…，b_n≥n，
根據(jù)排序不等式：
a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$
≥b₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$b₂+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$b_n
≥1+$\frac{1}{{2}^{2}}$•2+$\frac{1}{{3}^{2}}$•3+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$•n
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)，不要忽略a₁，a₂，…，a_n是兩兩互不相同正整數(shù)這個(gè)條件．