Question

已知等差數列{a_n}，a₂=8，前9項和為153．
（Ⅰ）求a₅和a_n；
（Ⅱ）若bn=2an，證明數列{b_n}為等比數列；
（Ⅲ）若從數列{a_n}中，依次取出第二項，第四項，第八項，…，第2ⁿ項，按原來的順序組成一個新的數列{c_n}，求數列{c_n}的前n項和T_n

Answer 1

分析：（1）根據前9項和為153和第五項是前9項的等差中項，得到第五項的值，根據第二項和第五項的值列出方程求得首項和公差，寫出通項公式．
（2）要證明數列是等比數列，只要相鄰兩項之比是常數即可，兩項之比是一個常數得到結論．
（3）依次取出原數列的第二項，第四項，第八項，…，第2ⁿ項，按原來的順序組成一個新的數列{c_n}，則組成一個等比數列，看出首項和公比，代入公式求解．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，
則S9=

9(a1+a9)

2

=153，
∴

9×2a5

2

=153.
∴a₅=17．
∵

a2=a1+d=8 a5=a1+4d=17.

，∴

a1=5 d=3.

∴a_n=3n+2．
（Ⅱ）

bn+1

bn

=

23(n+1)+2

23n+2

=23=8.
∴數列{b_n}是首項為32，公比為8的等比數列．
（Ⅲ）Tn=a2+a4+a8++a2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3×

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．

點評：數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，所以在高考中占有重要的地位．高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏．這是一個中檔題目，高考時能出現在前三個題的位置．