Question

已知函數(shù)f(x)=(x-m)2e

x

m

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

49e3

，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當m＞0時，不會有?x∈（0，+∞）f(x)≤

1

49e3

，當m＜0時，f(x)max=

4m2

e

≤

1

49e3

⇒-

1

14e

≤m＜0，從而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

=0⇒x=±m(xù)，
①當m＞0時，f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≥0⇒x≤-m，
或x≥mf′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≤0⇒-m≤x≤m，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-m），（m，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-m，m）；
②當m＜0時，f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≥0⇒m≤x≤-m，
f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≤0⇒x≤m或x≥-m，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（m，-m），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，m），（-m，+∞）；
（Ⅱ）當m＞0時，∵f(m+1)=e

m+1

m

＞e＞

1

49e3

，
∴不會有?x∈（0，+∞），f(x)≤

1

49e3

，
當m＜0時，由（Ⅰ）知f（x）在（0，-m）單調(diào)遞增，在（-m，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，+∞）上，f(x)max=f(-m)=

4m2

e

，
由題意知：f(x)max=

4m2

e

≤

1

49e3

⇒-

1

14e

≤m＜0，
∴m的取值范圍為[-

1

14e

，0)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道中檔題．