【題目】已知橢圓 C: 的焦距為2,且過(guò)點(diǎn),右焦點(diǎn)為.設(shè)A,B 是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段 AB 的中點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為,線段AB的中垂線交橢圓C于P,Q 兩點(diǎn).

(1)求橢圓 C 的方程;

(2)設(shè)M點(diǎn)縱坐標(biāo)為m,求直線PQ的方程,并求的取值范圍.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)利用橢圓C:(a>b>0)的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)(1,),建立方程組,求出a,b,即可求橢圓C的方程;

(2)分類(lèi)討論,求出直線PQ的方程,與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合向量的數(shù)量積,在橢圓的內(nèi)部,利用換元法,即可求的取值范圍.

(1) 因?yàn)闄E圓 的焦距為 ,且過(guò)點(diǎn)K ,所以,,所以,于是 ,,所以橢圓 的方程為

(2) 由題意,當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí),直線 方程為 ,此時(shí) ,

當(dāng)直線 不垂直于 軸時(shí),設(shè)直線 的斜率為 ,,,由線段 的中點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ,得 , ,故 .此時(shí),直線 斜率為 , 的直線方程為 ,即 聯(lián)立 消去 ,整理得 設(shè) ,,所以 ,

于是

由于 在橢圓的內(nèi)部,故 ,令 ,,

.又 ,所以 .綜上, 的取值范圍為

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(1)若輪船不被風(fēng)暴影響,求角α的正切值的最大值?

(2)若輪船航行方向?yàn)楸逼?5°,求輪船被風(fēng)暴影響持續(xù)多少時(shí)間?

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(I) 求證;直線 =1是橢圓C在點(diǎn)P處的切線;
(Ⅱ)求證: 為定值,并求此定值;
(Ⅲ)請(qǐng)問(wèn)△ONP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.a0+a1+a2+a3
B.(a0+a1+a2+a3)x3
C.a0+a1x+a2x2+a3x3
D.a0x3+a1x2+a2x+a3

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