Question

【題目】已知橢圓 C： 的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為．設(shè)A，B 是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 AB 的中點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為，線段AB的中垂線交橢圓C于P，Q 兩點(diǎn)．

（1）求橢圓 C 的方程；

（2）設(shè)M點(diǎn)縱坐標(biāo)為m，求直線PQ的方程，并求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用橢圓C：（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)（1，），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；

（2）分類(lèi)討論，求出直線PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合向量的數(shù)量積，在橢圓的內(nèi)部，利用換元法，即可求的取值范圍．

（1） 因?yàn)闄E圓 的焦距為 ，且過(guò)點(diǎn)K ，所以,，所以，于是 ，，所以橢圓 的方程為 ．

（2） 由題意，當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，直線 方程為 ，此時(shí) ，，得 ．

當(dāng)直線 不垂直于 軸時(shí)，設(shè)直線 的斜率為 ，，，，由線段 的中點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，得 ，則 ，故 ．此時(shí)，直線 斜率為 ， 的直線方程為 ，即 ．聯(lián)立 消去 ，整理得 ．設(shè) ，，所以 ，，

于是

由于 在橢圓的內(nèi)部，故 ，令 ，，

則 ．又 ，所以 ．綜上， 的取值范圍為 ．