Question

 （本題滿(mǎn)分12分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足.

（Ⅰ）計(jì)算的值，猜想的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；；.猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）先利用數(shù)列知識(shí)求和，然后利用放縮法證明或者利用數(shù)學(xué)歸納法證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，，得；，得；

，得.猜想                2’

證明：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，                       1’

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

結(jié)合，解得                   2’

于是對(duì)于一切的自然數(shù)，都有             1’

（Ⅱ）證法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013070412181371162922/SYS201307041219062600186925_DA.files/image013.png">，         3’

  .3’

證法二：數(shù)學(xué)歸納法

證明：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，，，           1’

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，            1’

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

要證：

只需證：

由于

所以               3’

于是對(duì)于一切的自然數(shù)，都有               1’

考點(diǎn)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。