Question

18．如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，點E為線段PB的中點，點M在$\widehat{AB}$上，且OM∥AC．
（1）求證：平面MOE⊥平面PCB；
（2）求二面角M-PB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OM∥平面PAC，平面MOE∥平面PAC，BC⊥AC，PA⊥BC，BC⊥平面PAC，由此能證明平面MOE⊥平面PCB．
（2）以C為原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，二面角M-PB-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，
∴OE∥PA，
∵PA?平面PAC，OE?平面PAC，∴OE∥平面PAC，
∴OE∥平面PAC，
∵OM∥AC，又AC?平面PAC，OM?平面PAC，
∴OM∥平面PAC，
∵OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM=O，
∵平面MOE∥平面PAC，
∵點C 在以AB為直線的⊙O上，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面 PBC，∴平面PAC⊥平面PBC，
∴平面MOE⊥平面PCB．
解：（2）如圖，以C為原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵∠CBA=30°，PA=AB=2，∴CB=2cos30°=$\sqrt{3}$，AC=1，
延長MO，交CB于點D，
∵OM∥AC，∴MD⊥CB，MD=1+$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，CD=$\frac{1}{2}CB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（1，0，2），C（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），M（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），
∴$\overrightarrow{CP}$=（1，0，2），$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面PCB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
同理，得平面PMB的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{5}$，
∴二面角M-PB-C的平面角的余弦值為$\frac{1}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．