Question

3．已知A、B、C、D為同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，且滿足AB=2，BC=CD=DA=1，∠BAD=θ，△ABD的面積為S，△BCD的面積為T．
（1）當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，求T的值；
（2）當(dāng)S=T時(shí)，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由余弦定理求出BD，cos∠BCD，由此能出△BCD的面積T．
（2）由S=$\frac{1}{2}AD•AB•sin∠BCD=sinθ$，得到sinθ=$\frac{1}{2}sin∠BCD$，從而4sin²θ=sin²∠BCD=1-cos²∠BCD=1-（$\frac{4cosθ-3}{2}$）²，由此能求出cosθ．

解答 解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosθ=3，
∴BD=$\sqrt{3}$，
在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$=$\frac{{1}^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×1×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠BCD=120°，
∴T=$\frac{1}{2}×BC×CD×sin∠BCD$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）S=$\frac{1}{2}AD•AB•sin∠BCD=sinθ$，
BD²=AD²+AB²-2AD•ABcosθ=5-4cosθ，
cos∠BCD=$\frac{B{C}^{2}+C{D}^{2}-B{D}^{2}}{2BC•CD}$=$\frac{4cosθ-3}{2}$，
T=$\frac{1}{2}CD•BC•sin∠BCD$=$\frac{1}{2}sin∠BCD$，
∵S=T，∴sinθ=$\frac{1}{2}sin∠BCD$，
∴4sin²θ=sin²∠BCD=1-cos²∠BCD=1-（$\frac{4cosθ-3}{2}$）²，
解得cosθ=$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．