Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，求g（2x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式整理，進(jìn)而求得x₀，代入到g（x）中求得答案．
（2）把f（x）和g（x）的解析式相加，利用二倍角公式和兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)h（x）的解析式，利用x的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=cos²x=

1

2

+

1

2

cos2x
∴2x₀=kπ，k∈Z，
∴g（2x₀）=1+

1

2

sin4x₀=1+

1

2

sin2kπ=1

（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x），
∴h（x）=cos²x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1
∴2≤

2

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

≤

3+ 2

2

∴函數(shù)h（x）的值域?yàn)閇2，

3+ 2

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)最值問題，二倍角公式的化簡(jiǎn)求值等．考查了學(xué)生基礎(chǔ)運(yùn)算的能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．