Question

【題目】函數(shù)，.

（1）若，設(shè)，試證明存在唯一零點(diǎn)，并求的最大值；

（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，首先證明函數(shù)的單調(diào)性，再證明存在區(qū)間使 即證明；求函數(shù)的最大值，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值；（2）不等式等價(jià)于，然后參變分離為 ，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù) 以及函數(shù)，根據(jù)所分析函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，只有2個(gè)正整數(shù)解，求的取值范圍.

試題解析：（1）證明：由題意知，

于是

令，，

∴在上單調(diào)遞減.

又，

所以存在，使得，

綜上存在唯一零點(diǎn).

解：當(dāng)，于是，在單調(diào)遞增；

當(dāng)，于是，在單調(diào)遞減；

故，

又，，，

故.

（2）解：等價(jià)于.

，

令，則，

令，則，即在上單調(diào)遞增.

又，

∴存在，使得.

∴當(dāng)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)在上單調(diào)遞減.

∵，，

且當(dāng)時(shí)，，

又，，

故要使不等式解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，的取值范圍應(yīng)為