Question

已知函數(shù)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求證：y₁+y₂為定值；
（2）若，其中n∈N^*，n≥2令，其中n∈N^*，T_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若T_n＜m（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a＞1）是否存在這樣的數(shù)列{a_n}，使得，且？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知可得，則，
∴x₁+x₂=1=
（2）由（1）知當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1.，①，②，
∴2S_n=n-1，故
當(dāng)n≥2時(shí)，．
又當(dāng)n=1時(shí)，，所以
故
∵T_n＜m（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N^*都成立．
∴，而（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立）
∴，即m的取值范圍是
（3）假設(shè)存在數(shù)列{a_n}滿足條件，則，
即，∴是以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
于是，∴，注意到
∴當(dāng)a＞3時(shí)，存在這樣的有窮數(shù)列{a_n}；當(dāng)1＜a≤3時(shí)，不存在這樣的數(shù)列．
分析：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知的向量關(guān)系得出x₁+x₂=1，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求得y₁+y₂為定值；
（2）由（1）知當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=1．得出，下面對(duì)n進(jìn)行分類討論：當(dāng)n≥2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，得到：再利用數(shù)列求和得出Tn，結(jié)合T_n＜m（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N^*都成立結(jié)合基本不等式即可求得m的取值范圍；
（3）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在數(shù)列{a_n}滿足條件，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出a_n的長(zhǎng)，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．