【題目】已知?jiǎng)訂TP過(guò)定點(diǎn) 且與圓N： 相切，記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)D（3，0）且斜率不為零的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得直線AQ，BQ的斜率之積為非零常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，由N： 及 ，知點(diǎn)M在圓N內(nèi)，則有 ，

從而丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，

∴P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

設(shè)曲線C的方程為： （a＞b＞0），則2a=4，a=4，c= ，

b2=a2﹣c2=1

故曲線C的軌跡方程為 ；

（Ⅱ）依題意可設(shè)直線AB的方程為x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2）．，

由 ，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，則△=36m2﹣4×5×（4+m2）＞0，即m2＞4，

解得：m＞2或m＜﹣2，

由y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2=m（y1+y2）+6= ，

x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9= ，

假設(shè)存在定點(diǎn)Q（t，0），使得直線AQ，BQ的斜率之積為非零常數(shù)，則

（x1﹣t）（x2﹣t）=x1x2﹣t（x1+x2）+t2= ﹣t× +t2= ，

∴kAQkBQ= = = ，

要使kAQkBQ為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng) ，解得t=±2，

當(dāng)t=2時(shí)，常數(shù)為 = ，

當(dāng)t=﹣2時(shí)，常數(shù)為 = ，

∴存在兩個(gè)定點(diǎn)Q1（2，0）和Q2（﹣2，0），使直線AQ，BQ的斜率之積為常數(shù)，

當(dāng)定點(diǎn)為Q1（2，0）時(shí)，常數(shù)為 ；當(dāng)定點(diǎn)為Q2（﹣2，0）時(shí)，常數(shù)為


【解析】（Ⅰ）由題意可知丨PM丨+丨PN丨=4＞丨MN丨=2 ，則P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，則a=4，c= ，b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，當(dāng)且僅當(dāng) ，解得t=±2，代入即可求得，定點(diǎn)的坐標(biāo)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)向量 =（sin2ωx，cos2ωx）， =（cosφ，sinφ），其中|φ|＜ ，ω＞0，函數(shù)f（x）= 的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的點(diǎn)）為 ，在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為 ．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的對(duì)邊分別是a′b′c′若f（C）=﹣1， ，且a+b=2 ，求邊長(zhǎng)c．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（2x+ ），將其圖象向右平移 ，則所得圖象的一條對(duì)稱軸是（ ）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=

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【題目】已知 ，
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）=2，而 ，求邊BC的最小值．

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【題目】已知函數(shù)g（x）=a﹣x2（ ≤x≤e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[1， +2]
B.[1，e2﹣2]
C.[ +2，e2﹣2]
D.[e2﹣2，+∞）

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【題目】將函數(shù)f（x）=sin（ +x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x），則g（x）具有性質(zhì)（ ）
A.在（0， ）上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)
B.周期為π，圖象關(guān)于（ ）對(duì)稱
C.最大值為 ，圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱
D.在（﹣ ）上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)

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（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線y=k（x﹣1），k≠0與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得 為定值？若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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