Question

已知二面角α-l-β大小為60°，點M、N分別在α、β面內，點P到α、β的距離分別為2和3，則△PMN周長的最小值等于

 

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：作出P關于兩個平面α，β對稱點A、B，連接AB，線段AB與兩個平面的交點坐標分別為C，D，連接AP，BP，由已知條件推導出△PMN周長L=PM+PN+MN=AM+MN+BN=AB，由兩點之間線段最短可以得出AB即為△PMN周長的最小值．

解答： 解：如圖，作出P關于兩個平面α，β對稱點A、B，連接AB，
線段AB與兩個平面的交點坐標分別為C，D，連接AP，BP，
∴四邊形CDNM是矩形，
∴MN=CD，
則△PMN周長L=PM+PN+MN=AM+MN+BN=AB，
由兩點之間線段最短可以得出AB即為△PMN周長的最小值，
根據題意可知：PM=2，PN=3，
∴AP=4，BP=6，
∵大小為60°的二面角α-a-β，
∴∠MON=60°，
∴∠APB=120°，
根據余弦定理有：
AB²=AP²+BP²-2AP•BP•cos∠APB=4²+6²-2×4×6×（-1/2）=76，
∴AB=2

19

，
∴△PMN周長的最小值等于2

19

．
故答案為：2

19

．

點評：本題考查三角形周長的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．