Question

11．設(shè)$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•cosC}}）$，其中O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，λ∈[0，+∞），則點P的軌跡經(jīng)過△ABC的（　�。�

• A． 外心
• B． 內(nèi)心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 解出$\overrightarrow{AP}$，計算$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$并化簡可得出結(jié)論．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|•cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|•cosC}$），
∴$\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BC}=λ（\frac{{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|•cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|•cosC}}）=λ（{-|{\overrightarrow{BC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|}）=0$，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計算$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$是關(guān)鍵．